因数定理の証明｜十分条件の証明・必要条件の証明と使う問題3つ

「因数定理が思い出せない」
「子どもに因数定理を聞かれたけど、答えられなかった」
因数定理について、上記の様な経験をしたことがある方はいるのではないでしょうか。

この記事では、因数定理とは何か説明してから、因数定理と剰余の定理との関係や因数定理の証明の種類、因数定理の解き方をポイント3つに絞って、例題とともに紹介しています。

この記事を読むことで、基本的な因数定理について把握できるだけでなく、解き方のポイントも分かるようになるでしょう。そのため、子どもに因数定理とは何か問われたときや一緒に問題を解く機会に遭遇しても安心して対応できます。

因数定理について思い出したいと考えている方は、是非この記事をご覧ください。

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因数定理とは？

まず、自分自身が学生時代に習ったであろう因数とは何かを思い出してください。因数は、ある数や文字式を掛け算で表したときに、掛けている数字や文字式のことを指します。方程式ｃ＝ａｘ＋ｂがあったとして、計数ａとｘが因数です。

因数定理とは、「多項式Ｐ（ｘ）において、Ｐ（ｘ）＝０のときｘ－ａはＰ（ｘ）の因数である」という定理です。多項式の因数分解をするときに、よく使われます。

因数定理を理解しておくことで、子どもが学校の授業などでつまずいた際に教えられるでしょう。

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因数定理と剰余の定理との関係

因数定理は、剰余の定理のひとつで、整式を一時式で割ったときの定理です。剰余の定理には二つの定理があります。

・整式Ｐ（ｘ）をｘ－ａで割ったとき、余りはＰ（Ｐａ）となる。
・整式Ｐ（ａ）をａｘ＋ｂで割ったとき、余りはＰ（－ｂ／ａ）となる。

剰余の定理でＰ（ａ）＝０となるａの値がわかれば、Ｐ（ｘ）をｘ－ａで割ったときの余りは0となり、因数定理と同じになります。

因数定理の証明

定理とは証明された命題のことをいいますが、因数定理はどのように証明されているでしょうか。証明をするためには、必要十分条件を満たすかどうか検証します。

十分条件はAならばBという条件が成り立つこと、必要条件はBならばAという条件が成り立つことです。

必要十分が成り立つことを証明できれば因数定理の証明となります。

十分条件の証明

多項式P（x）をｘ－ａで割ったときの商Ｑ（ｘ）と余りＲの関係は、Ｐ（ｘ）＝（ｘ－ａ）Ｑ（ｘ）＋Ｒとなります。このときＰ（ｘ）がｘ－ａで割り切れるとき、Ｒ＝0となりますので、Ｐ（ｘ）＝（ｘ－ａ）Ｑ（ｘ）となります。

このときＰ（ａ）＝０を証明するにはｘ＝ａを代入します。その結果はＰ（ａ）＝（ａ－ａ）Ｑ（ｘ）となり、ａ－ａ＝0からＰ（ａ）＝0となり、証明されます。

必要条件の証明

必要条件はＰ（ａ）＝0ならばＰ（ｘ）はｘ－ａを因数に持つことを証明します。

・Ｐ（ｘ）＝（ｘ－ａ）Ｑ（ｘ）＋Ｒの式において、x＝aを代入する
・Ｐ（ａ）＝（ａ－ａ）Ｑ（ａ）＋Ｒとなります
・Ｐ（ａ）＝Ｒとなります。仮定からＰ（ａ）＝０なのでＲは0です

Ｐ（ｘ）＝（ｘ－ａ）Ｑ（ｘ）は余りが0ですので、式は割り切れることになり、ｘ－ａはＰ（ｘ）の因数であると証明されました。

因数定理の例題と解き方のポイント3つ